UNIDAD 5 Cálculos. Escuela de Ingeniería Civil-UTPL. TOPOGRAFÍA ELEMENTAL Autora: Nadia Chacón Mejía POLIGONACIÓN: POLIGONAL CERRADA


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1 POLIGONACIÓN: UNIDAD 5 Cálculos POLIGONAL CERRADA Cálculo y ajuste de la poligonal Una vez que se han tomado las medidas de los ángulos y distancias de las líneas de una poligonal cerrada, se deben determinar los errores que con seguridad se presentan en los datos para establecer si son aceptables o no. Si son aceptables se distribuye el error total de cierre entre las observaciones, la distribución del error no debe causar grandes cambios en los datos, estos deben ser mínimos. Si el error es inaceptable, se deben volver a tomar los datos de algunas medidas donde se crea que se cometió algún error. Cuando se haya determinado los errores de cierre lineal y angular se realiza el cálculo de las coordenadas. Corrección de cierre angular La suma de los ángulos de una poligonal debe ser igual a: 1 Ángulos exteriores: Ángulos interiores: número de vértices de la poligonal Error de cierre angular: El error de cierre angular es la diferencia entre la suma de los ángulos medidos y el valor que resulta de aplicar la fórmula. Si el error de cierre angular esta dentro de los límites permisibles este se reparte en partes iguales entre todos los ángulos dividiendo el error para el número de vértices, este valor se resta si el error es por exceso o se suma si es por defecto. A continuación se calcula el azimut de cada línea partiendo desde el azimut conocido, dependiendo del sentido en el que se midieron los ángulos se aplican las siguientes fórmulas: Horario: Antihorario:

2 Cálculo de las proyecciones Después de haber realizado la corrección de cierre angular y calculado los azimut se determinan las proyecciones. Las proyecciones de una línea se expresan de la siguiente forma: Si en lugar de azimut se tuviera el rumbo de la línea este debe ser transformado para poder realizar los cálculos. 2 Las proyecciones pueden tener signo positivo o negativo dependiendo del valor del azimut, siendo positivas las proyecciones norte y este, y negativas las proyecciones sur y oeste. Figura 5.1 Proyecciones Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 276.

3 Se deben cumplir las siguientes igualdades, debido a que es un polígono cerrado: Al tomar las medidas de ángulos y distancias siempre se cometen errores, por esta razón las igualdades anteriores no se cumplen exactamente por lo que es necesario corregir las proyecciones: Corrección de cierre lineal Error de cierre lineal: 3 Figura 5.2 Error de cierre lineal Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág Al formar la poligonal los errores en las proyecciones provocan que no se llegue al mismo punto desde el que se inicio, sino que lleguen a otro punto que se encuentra a una distancia ε de la estación de partida:

4 ε es el error total y se expresa en forma unitaria, es decir, como el número de metros en los cuales se cometería un error de 1 metro. Haciendo una regla de tres se obtiene el número de metros (x) en los cuales se cometerá un metro de error: Por lo tanto: Este es el error de cierre lineal y se expresa 1: x, de acuerdo al tipo de levantamiento y a su exactitud se han establecido los siguientes límites máximos: 4 Error máximo Clase de levantamiento 1 : : 1000 a 1 : : 1500 a 1 : : 2500 a 1 : 1400 Levantamiento de terrenos quebrados y de muy poco valor, levantamientos de reconocimiento, colonizaciones, etc., generalmente hechos por taquimetría. Levantamiento de terrenos de poco valor, taquimetría con dobles lecturas de miras. Levantamiento de terrenos agrícolas de valor medio. Levantamientos con estadia. Levantamientos urbanos y terrenos rurales de cierto valor. 1 : 1400 en adelante Levantamientos en ciudades y terrenos bastante valiosos. 1 : y más Levantamientos geodésicos. Fuente: TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 117 Si el error de cierre obtenido esta dentro del error máximo permisible este se distribuye para que la poligonal pueda cerrarse, de lo contrario el levantamiento debe repetirse.

5 Existen varios métodos para repartir el error de cierre, a continuación se mencionan los más utilizados: Método A: Para corregir las proyecciones se utilizan las siguientes fórmulas: Método B: 5 Por este método la corrección es igual a la relación entre el error en la proyección y la longitud total de la poligonal por su respectivo lado:

6 Para obtener las proyecciones corregidas se suma la corrección y la proyección tomando en cuenta sus signos, en el método A para corregir las proyecciones sur y oeste se suman las correcciones y para las proyecciones norte y este se restan. Cálculo de las coordenadas El cálculo de las coordenadas es muy importante porque mediante ellas se puede conocer la posición de cualquier punto respecto a un eje de referencia, además son muy útiles en una gran variedad de cálculos como: determinación de longitudes y direcciones de líneas, cálculo de áreas de predios, cálculo de curvas. Para obtener las coordenadas de los puntos de una poligonal, primero se supone las coordenadas del punto de inicio de la poligonal o de cualquier punto desde el cual se desee empezar el cálculo, por ejemplo N2000, E2000; a estas coordenadas se suma las proyecciones correspondientes a ese punto, este procedimiento se sigue por toda la poligonal hasta llegar al punto donde se inicio, lo cual sirve de verificación, si las coordenadas calculadas coinciden con las coordenadas supuestas significa que el cálculo está bien realizado o si por el contrario no son las mismas se pudo haber cometido algún error y se debe revisar para corregirlo. Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las coordenadas de B es: 6 POLIGONAL ABIERTA Por lo general las poligonales abiertas no son muy utilizadas porque no se pueden corregir, pero en ocasiones es muy conveniente su uso como es el caso de vías. Si se va a utilizar este tipo de poligonal se debe tener mucho cuidado al realizar la medición de ángulos y distancias ya que no se puede realizar ninguna clase de verificación. En las poligonales los ángulos que se miden en sus vértices son los ángulos de deflexión, al igual que en las poligonales cerradas se mide el azimut o rumbo de uno de sus lados para conocer su dirección pero no existe corrección de cierre angular ni lineal, entonces una vez calculados los azimut de todos sus lados se determina sus proyecciones y coordenadas. Cálculo del azimut: Para determinar los azimut de cada línea se suman los ángulos de deflexión a la derecha y se restan los ángulos de deflexión a la izquierda al azimut conocido si el cálculo se lo realiza hacia adelante, si se lo realiza hacia atrás los ángulos de deflexión a la izquierda se suman y los de la derecha se restan.

7 Siendo AB el lado inicial de la poligonal, del cual se conoce su azimut y BC el lado siguiente, la fórmula para calcular el azimut de BC es: Si el ángulo de deflexión es a la derecha (D): Si el ángulo de deflexión es a la izquierda (I): Cálculo de proyecciones: El cálculo de las proyecciones es igual que en una poligonal cerrada: 7 Cálculo de coordenadas: El cálculo de las coordenadas también es igual que en una poligonal cerrada, a la coordenada conocida se suma la proyección correspondiente a la línea. Como la coordenada conocida no siempre está en el punto de inicio sino que puede estar en cualquier punto y debido a que es una poligonal abierta no se puede volver al punto donde se empezó, el cálculo se debe hacer hacia adelante y hacia atrás para poder determinar las coordenadas de todos los puntos. Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las coordenadas de B es:

8 Si E es punto anterior a el punto A, la coordenada de E es la siguiente: NIVELACIÓN: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA En la nivelación geométrica las lecturas que se toman en el campo para poder determinar las cotas de puntos sobre un terreno, son atrás, adelante e intermedia. Con estos datos y con la cota del BM de inicio, la cual se ha obtenido mediante levantamientos previos o si no se dispone de esta se puede suponer un valor, ya se pueden calcular la altura instrumental y las cotas. Cálculo de la altura instrumental: La altura instrumental se calcula sumando la cota más la lectura atrás, este valor es necesario para poder determinar las cotas de los siguientes puntos: 8 Cálculo de cotas: La cota de los BM y de los puntos de cambio se calcula restando la altura instrumental del punto anterior y la lectura adelante correspondiente a cada punto: CORRECCIÓN: Error: Para realizar la corrección de las cotas primero se calcula el error el cual es igual a la suma de las lecturas atrás menos la suma de las lecturas adelante:

9 Y la corrección es igual: Los puntos de cambio son los puntos que tienen una lectura atrás y una adelante, por lo tanto los BM también son puntos de cambio. Cota corregida: Si la cota obtenida al final del cálculo es menor que la cota de inicio, se debe sumar la cota más la corrección, pero antes se debe multiplicar la corrección por un número que representa la posición del punto de cambio, el primer punto se deberá multiplicar por 1, el segundo por 2, el tercero por tres y así sucesivamente hasta llegar al último; pero si la cota obtenida al final del cálculo es mayor que la cota de inicio se debe restar. 9 Altura instrumental corregida: La corrección de la altura instrumental se obtiene sumando la cota corregida más la lectura atrás: Cotas puntos intermedios Una vez realizada la corrección se calcula las cotas de los puntos restando la altura instrumental corregida menos la lectura intermedia: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA: Como ya se menciono en el capítulo anterior la nivelación trigonométrica se basa en la medición de distancias horizontales y ángulos verticales para luego determinar su distancia vertical o desnivel por medio de cálculos trigonométricos.

10 Para realizar los cálculos de las distancias se utilizan las siguientes fórmulas: Si el ángulo es cenital: Si el ángulo es vertical: 10 Cota: Con los datos obtenidos de las fórmulas anteriores se calcula la cota:

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